ความหมายของปิรามิด
พีระมิดเป็นรูปหลายเหลี่ยมซึ่งมีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมและใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยม
เครื่องคิดเลขออนไลน์
มันคุ้มค่าที่จะพิจารณาคำจำกัดความของส่วนประกอบบางส่วนของปิรามิด
เธอเหมือนกับรูปทรงหลายเหลี่ยมอื่น ๆ ที่มี ซี่โครง. พวกมันมาบรรจบกันที่จุดหนึ่งที่เรียกว่า สูงสุดปิรามิด มันสามารถขึ้นอยู่กับรูปหลายเหลี่ยมโดยพลการ ขอบคือรูปทรงเรขาคณิตที่เกิดจากด้านใดด้านหนึ่งของฐานและมีขอบที่ใกล้ที่สุดสองด้าน ในกรณีของเรามันคือรูปสามเหลี่ยม ความสูงปิรามิดคือระยะห่างจากระนาบซึ่งมีฐานอยู่ถึงยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม สำหรับปิระมิดปกติก็มีแนวคิดเช่นกัน ความไม่สมดุล- นี่คือแนวตั้งฉากที่ลงมาจากด้านบนของปิรามิดถึงฐาน
ประเภทของปิรามิด
ปิรามิดมี 3 ประเภท:
- สี่เหลี่ยม- ส่วนที่ขอบด้านใดด้านหนึ่งทำมุมฉากกับฐาน
- ถูกต้อง- ฐานของมันคือรูปทรงเรขาคณิตปกติ และจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมนั้นคือเส้นโครงของศูนย์กลางของฐาน
- จัตุรมุข- ปิรามิดที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยม ยิ่งกว่านั้นแต่ละข้อสามารถใช้เป็นพื้นฐานได้
สูตรพื้นที่ผิวของปิรามิด
ในการหาพื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิด คุณต้องบวกพื้นที่ผิวด้านข้างและพื้นที่ฐานด้วย
กรณีที่ง่ายที่สุดคือกรณีของปิระมิดปกติ ดังนั้นเราจะจัดการกับมัน ให้เราคำนวณพื้นที่ผิวรวมของปิรามิดดังกล่าว พื้นที่ผิวด้านข้างคือ:
ด้าน S = 1 2 ⋅ l ⋅ p S_(\text(ด้าน))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot pส ด้านข้าง = 2 1 ⋅ ล. ⋅พี
แอล แอล ล- ระยะกึ่งกลางของปิรามิด
พีพี พี- เส้นรอบวงฐานของปิรามิด
พื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิด:
S = ฝั่ง S + S หลัก S=S_(\text(ด้านข้าง))+S_(\text(main))ส=ส ด้านข้าง + ส ขั้นพื้นฐาน
ด้าน S S_(\ข้อความ(ด้าน)) ส ด้านข้าง
- พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิด
S หลัก S_(\ข้อความ(พื้นฐาน)) ส ขั้นพื้นฐาน
- พื้นที่ฐานปิรามิด
ตัวอย่างของการแก้ปัญหา
ตัวอย่างค้นหาพื้นที่ทั้งหมดของปิรามิดรูปสามเหลี่ยมถ้าระยะกึ่งกลางของมันคือ 8 (ซม.) และที่ฐานจะมีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้าน 3 (ซม.)
สารละลาย
ล = 8 ล.=8 ล =8
ก = 3 ก=3 ก =3
ลองหาเส้นรอบวงของฐาน. เนื่องจากฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามีด้าน ก กแล้วเส้นรอบรูปของมัน พีพี พี(ผลรวมของทุกด้าน):
P = a + a + a = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 3 = 9 p=a+a+a=3\cdot a=3\cdot 3=9พี =เอ+เอ+ก =3 ⋅ ก =3 ⋅ 3 = 9
จากนั้นพื้นที่ด้านข้างของปิรามิดคือ:
ด้าน S = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 9 = 36 S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 8\cdot 9=36ส ด้านข้าง = 2 1 ⋅ ล. ⋅พี =2 1 ⋅ 8 ⋅ 9 = 3 6 (ดูตร.ม.)
ทีนี้ลองหาพื้นที่ฐานของปิรามิดซึ่งก็คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม ในกรณีของเรา สามเหลี่ยมนั้นมีด้านเท่ากันหมดและสามารถคำนวณพื้นที่ได้โดยใช้สูตร:
S main = 3 ⋅ a 2 4 S_(\text(basic))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)ส ขั้นพื้นฐาน = 4 3 ⋅ ก 2
เอเอ ก- ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม
เราได้รับ:
S หลัก = 3 ⋅ a 2 4 = 3 ⋅ 3 2 4 mut 3.9 S_(\text(basic))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)=\frac(\sqrt(3 )\cdot 3^2)(4)\ประมาณ3.9ส ขั้นพื้นฐาน = 4 3 ⋅ ก 2 = 4 3 ⋅ 3 2 ≈ 3 . 9 (ดูตร.ม.)
พื้นที่ทั้งหมด:
S = ฝั่ง S + S หลัก µ 36 + 3.9 = 39.9 S=S_(\text(ด้านข้าง))+S_(\text(main))\approx36+3.9=39.9ส=ส ด้านข้าง + ส ขั้นพื้นฐาน ≈ 3 6 + 3 . 9 = 3 9 . 9 (ดูตร.ม.)
คำตอบ: 39.9 ซม. ตร.ม.
อีกตัวอย่างหนึ่งที่ซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อย
ตัวอย่างฐานของปิรามิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีพื้นที่ 36 (ซม.2) เส้นตั้งฉากกลางของรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็น 3 เท่าของด้านข้างของฐาน ก ก. ค้นหาพื้นที่ผิวทั้งหมดของรูปนี้
สารละลาย
S รูปสี่เหลี่ยม = 36 S_(\ข้อความ(รูปสี่เหลี่ยม))=36ส รูปสี่เหลี่ยม
=
3
6
l = 3 ⋅ a l=3\cdot a ล =3
⋅
ก
ลองหาด้านฐาน ซึ่งก็คือด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส พื้นที่และความยาวด้านมีความสัมพันธ์กัน:
S รูปสี่เหลี่ยม = a 2 S_(\text(รูปสี่เหลี่ยม))=a^2ส รูปสี่เหลี่ยม
=
ก 2
36 = ก 2 36=ก^2 3
6
=
ก 2
ก = 6 ก=6 ก =6
ลองหาเส้นรอบวงของฐานของปิรามิด (นั่นคือ เส้นรอบวงของสี่เหลี่ยมจัตุรัส):
P = a + a + a + a = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 6 = 24 p=a+a+a+a=4\cdot a=4\cdot 6=24พี =เอ+เอ+เอ+ก =4 ⋅ ก =4 ⋅ 6 = 2 4
ลองหาความยาวของระยะแนบใน:
L = 3 ⋅ ก = 3 ⋅ 6 = 18 l=3\cdot a=3\cdot 6=18ล =3 ⋅ ก =3 ⋅ 6 = 1 8
ในกรณีของเรา:
S รูปสี่เหลี่ยม = S หลัก S_(\text(รูปสี่เหลี่ยม))=S_(\ข้อความ(พื้นฐาน))ส รูปสี่เหลี่ยม = ส ขั้นพื้นฐาน
สิ่งที่เหลืออยู่คือการหาพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง ตามสูตร:
ด้าน S = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 18 ⋅ 24 = 216 S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 18\cdot 24=216ส ด้านข้าง = 2 1 ⋅ ล. ⋅พี =2 1 ⋅ 1 8 ⋅ 2 4 = 2 1 6 (ดูตร.ม.)
พื้นที่ทั้งหมด:
S = ฝั่ง S + S หลัก = 216 + 36 = 252 S=S_(\text(ด้านข้าง))+S_(\text(main))=216+36=252
คำตอบ: 252 ซม. ตร.ม.
เราเรียกตัวเลขใดว่าปิรามิด? ประการแรก มันคือรูปทรงหลายเหลี่ยม ประการที่สอง ที่ฐานของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้มีรูปหลายเหลี่ยมตามอำเภอใจ และด้านข้างของปิรามิด (ใบหน้าด้านข้าง) จำเป็นต้องมีรูปสามเหลี่ยมมาบรรจบกันที่จุดยอดร่วมจุดเดียว เมื่อเข้าใจคำศัพท์แล้ว เรามาดูวิธีหาพื้นที่ผิวของปิรามิดกันดีกว่า
เห็นได้ชัดว่าพื้นที่ผิวของตัวเรขาคณิตนั้นประกอบด้วยผลรวมของพื้นที่ของฐานและพื้นผิวด้านข้างทั้งหมด
การคำนวณพื้นที่ฐานของปิรามิด
การเลือกสูตรการคำนวณขึ้นอยู่กับรูปร่างของรูปหลายเหลี่ยมที่อยู่ใต้ปิรามิดของเรา อาจเป็นแบบสม่ำเสมอ กล่าวคือ มีด้านยาวเท่ากันหรือไม่สม่ำเสมอก็ได้ ลองพิจารณาทั้งสองตัวเลือก
ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ
จากหลักสูตรของโรงเรียนเรารู้:
- พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะเท่ากับความยาวของด้านกำลังสอง
- พื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าเท่ากับกำลังสองของด้านหารด้วย 4 และคูณด้วยรากที่สองของสาม
แต่ยังมีสูตรทั่วไปในการคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติ (Sn): คุณต้องคูณเส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมนี้ (P) ด้วยรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในนั้น (r) แล้วหาร ผลลัพธ์สอง: Sn=1/2P*r
ที่ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ปกติ
รูปแบบการหาพื้นที่คือการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมดออกเป็นรูปสามเหลี่ยมก่อน แล้วคำนวณพื้นที่ของแต่ละรูปโดยใช้สูตร: 1/2a*h (โดยที่ a คือฐานของรูปสามเหลี่ยม h คือความสูงลดลงเหลือ ฐานนี้) รวมผลลัพธ์ทั้งหมดเข้าด้วยกัน
พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิด
ทีนี้ลองคำนวณพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดนั่นคือ ผลรวมของพื้นที่ด้านข้างทั้งหมด นอกจากนี้ยังมี 2 ตัวเลือกที่นี่
- ขอให้เรามีปิรามิดตามอำเภอใจเช่น อันหนึ่งมีรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ปกติอยู่ที่ฐาน จากนั้นคุณควรคำนวณพื้นที่ของแต่ละใบหน้าแยกกันและเพิ่มผลลัพธ์ เนื่องจากด้านข้างของปิรามิดตามคำนิยามแล้ว สามารถเป็นรูปสามเหลี่ยมได้เท่านั้น การคำนวณจึงดำเนินการโดยใช้สูตรข้างต้น: S=1/2a*h
- ให้ปิรามิดของเราถูกต้องนั่นคือ ที่ฐานของมันคือรูปหลายเหลี่ยมปกติ และเส้นโครงด้านบนของปิรามิดอยู่ตรงกลาง จากนั้น ในการคำนวณพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง (Sb) ก็เพียงพอที่จะหาผลคูณของเส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมฐาน (P) และความสูง (h) ของด้านข้าง (เท่ากัน) ครึ่งหนึ่ง (เท่ากันสำหรับทุกใบหน้า) ): Sb = 1/2 P*h เส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมถูกกำหนดโดยการบวกความยาวของด้านทั้งหมด
พื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิดปกตินั้นหาได้จากการรวมพื้นที่ฐานกับพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างทั้งหมด
ตัวอย่าง
ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณพื้นที่ผิวของปิรามิดหลายๆ อันโดยใช้พีชคณิตกัน
พื้นที่ผิวของปิรามิดสามเหลี่ยม
ที่ฐานของปิรามิดนั้นมีรูปสามเหลี่ยม โดยใช้สูตร So=1/2a*h เราจะหาพื้นที่ของฐาน เราใช้สูตรเดียวกันในการหาพื้นที่ของแต่ละหน้าของปิรามิดซึ่งมีรูปทรงสามเหลี่ยมด้วย และเราจะได้ 3 พื้นที่ คือ S1, S2 และ S3 พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดคือผลรวมของพื้นที่ทั้งหมด: Sb = S1+ S2+ S3 เมื่อรวมพื้นที่ด้านข้างและฐานเข้าด้วยกัน เราจะได้พื้นที่ผิวรวมของปิรามิดที่ต้องการ: Sp= So+ Sb
พื้นที่ผิวของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม
พื้นที่ผิวด้านข้างคือผลรวมของ 4 เทอม: Sb = S1+ S2+ S3+ S4 ซึ่งแต่ละเทอมคำนวณโดยใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม และจะต้องมองหาพื้นที่ของฐานขึ้นอยู่กับรูปร่างของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน - ปกติหรือผิดปกติ ได้รับพื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิดอีกครั้งโดยการเพิ่มพื้นที่ของฐานและพื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิดที่กำหนด
คำแนะนำ
ประการแรก ควรทำความเข้าใจว่าพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดนั้นมีรูปสามเหลี่ยมหลายรูปแทน ซึ่งพื้นที่ดังกล่าวสามารถพบได้โดยใช้สูตรต่างๆ ขึ้นอยู่กับข้อมูลที่ทราบ:
S = (a*h)/2 โดยที่ h คือความสูงลดลงไปทางด้าน a;
S = a*b*sinβ โดยที่ a, b คือด้านของสามเหลี่ยม และ β คือมุมระหว่างด้านเหล่านี้
S = (r*(a + b + c))/2 โดยที่ a, b, c คือด้านของรูปสามเหลี่ยม และ r คือรัศมีของวงกลมที่อยู่ภายในสามเหลี่ยมนี้
S = (a*b*c)/4*R โดยที่ R คือรัศมีของสามเหลี่ยมที่ล้อมรอบวงกลม
S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (หากรูปสามเหลี่ยมมีมุมฉาก)
S = S = (a²*√3)/4 (หากสามเหลี่ยมมีด้านเท่ากันหมด)
อันที่จริงนี่เป็นเพียงสูตรพื้นฐานที่สุดที่รู้จักกันดีในการค้นหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
เมื่อคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งหมดที่เป็นหน้าของปิรามิดโดยใช้สูตรข้างต้นแล้ว คุณสามารถเริ่มคำนวณพื้นที่ของปิรามิดนี้ได้ ทำได้ง่ายมาก: คุณต้องบวกพื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งหมดที่ประกอบเป็นพื้นผิวด้านข้างของปิรามิด สามารถแสดงได้ด้วยสูตร:
Sp = ΣSi โดยที่ Sp คือพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง Si คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม i-th ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของพื้นผิวด้านข้าง
เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น เราสามารถพิจารณาตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ ได้ เมื่อพิจารณาจากปิรามิดปกติ ใบหน้าด้านข้างประกอบด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่า และที่ฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ความยาวของขอบของปิรามิดนี้คือ 17 ซม. จำเป็นต้องค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดนี้
วิธีแก้ปัญหา: ทราบความยาวของขอบของปิรามิดนี้ เป็นที่รู้กันว่าใบหน้าของมันคือสามเหลี่ยมด้านเท่า ดังนั้น เราสามารถพูดได้ว่าทุกด้านของสามเหลี่ยมทั้งหมดบนพื้นผิวด้านข้างมีค่าเท่ากับ 17 ซม. ดังนั้น ในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมใดๆ เหล่านี้ คุณจะต้องใช้สูตร:
S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 ซม.²
เป็นที่ทราบกันว่าที่ฐานของปิรามิดนั้นมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ ดังนั้นจึงชัดเจนว่ามีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่กำหนดมาให้สี่รูป จากนั้นคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดดังนี้:
125.137 ตร.ซม. * 4 = 500.548 ตร.ซม
คำตอบ: พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดคือ 500.548 ตารางเซนติเมตร
ขั้นแรก เรามาคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดกันก่อน พื้นผิวด้านข้างคือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมด หากคุณกำลังเผชิญกับปิรามิดปกติ (นั่นคือปิรามิดที่มีรูปหลายเหลี่ยมปกติอยู่ที่ฐานและจุดยอดถูกฉายไปที่กึ่งกลางของรูปหลายเหลี่ยมนี้) จากนั้นในการคำนวณพื้นผิวด้านข้างทั้งหมด ก็เพียงพอที่จะคูณเส้นรอบวงของ ฐาน (นั่นคือ ผลรวมของความยาวของทุกด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่วางอยู่ที่ฐานพีระมิด) ด้วยความสูงของหน้าด้านข้าง (หรือเรียกอีกอย่างว่าเส้นตั้งฉากในกึ่งกลาง) และหารค่าผลลัพธ์ด้วย 2: Sb = 1/2P* h โดยที่ Sb คือพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง P คือเส้นรอบวงของฐาน h คือความสูงของใบหน้าด้านข้าง (apothem)
หากคุณมีปิรามิดใดๆ อยู่ตรงหน้า คุณจะต้องคำนวณพื้นที่ของใบหน้าทั้งหมดแยกกัน แล้วจึงบวกเข้าด้วยกัน เนื่องจากด้านข้างของพีระมิดเป็นรูปสามเหลี่ยม ให้ใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยม: S=1/2b*h โดยที่ b คือฐานของสามเหลี่ยม และ h คือความสูง เมื่อคำนวณพื้นที่ของใบหน้าทั้งหมดแล้ว สิ่งที่เหลืออยู่คือบวกเข้าด้วยกันเพื่อให้ได้พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิด
จากนั้นคุณต้องคำนวณพื้นที่ฐานของปิรามิด การเลือกสูตรในการคำนวณขึ้นอยู่กับว่ารูปหลายเหลี่ยมใดอยู่ที่ฐานของปิรามิด: ปกติ (นั่นคือรูปหนึ่งที่มีความยาวเท่ากันทุกด้าน) หรือไม่สม่ำเสมอ พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติสามารถคำนวณได้โดยการคูณเส้นรอบวงด้วยรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปหลายเหลี่ยมแล้วหารค่าผลลัพธ์ด้วย 2: Sn = 1/2P*r โดยที่ Sn คือพื้นที่ของ รูปหลายเหลี่ยม P คือเส้นรอบวง และ r คือรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปหลายเหลี่ยม
ปิรามิดที่ถูกตัดทอนคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ประกอบขึ้นจากปิรามิดและมีหน้าตัดขนานกับฐาน การหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดนั้นไม่ใช่เรื่องยากเลย ง่ายมาก: พื้นที่เท่ากับผลคูณของผลรวมของฐานครึ่งหนึ่งคูณระยะแนบใน ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอน สมมติว่าเราได้รับปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติ ความยาวของฐานคือ b = 5 ซม., c = 3 ซม. เส้นตั้งฉาก a = 4 ซม. หากต้องการหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดคุณต้องหาเส้นรอบวงของฐานก่อน ในฐานขนาดใหญ่จะเท่ากับ p1=4b=4*5=20 ซม. ในฐานที่เล็กกว่าสูตรจะเป็นดังนี้: p2=4c=4*3=12 ซม. ดังนั้น พื้นที่จะเท่ากับ : s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 ซม.
ปิรามิดคือรูปทรงหลายเหลี่ยม โดยใบหน้าหนึ่ง (ฐาน) เป็นรูปหลายเหลี่ยมใดๆ ก็ตาม และใบหน้าที่เหลือ (ด้านข้าง) เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม ตามจำนวนมุม ฐานของปิรามิดเป็นรูปสามเหลี่ยม (จัตุรมุข) รูปสี่เหลี่ยม และอื่นๆ
ปิระมิดคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม และใบหน้าที่เหลือเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม เส้นกึ่งกลางของพีระมิดคือความสูงของด้านข้างของพีระมิดปกติซึ่งลากมาจากจุดยอด
หลักสูตรวิดีโอ "รับ A" ประกอบด้วยหัวข้อทั้งหมดที่จำเป็นในการผ่านการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ด้วยคะแนน 60-65 คะแนน ทำภารกิจทั้งหมด 1-13 ของการสอบ Profile Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ให้สมบูรณ์ ยังเหมาะสำหรับการผ่านการสอบ Basic Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย หากคุณต้องการผ่านการสอบ Unified State ด้วยคะแนน 90-100 คุณต้องแก้ส่วนที่ 1 ใน 30 นาทีโดยไม่มีข้อผิดพลาด!
หลักสูตรเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State สำหรับเกรด 10-11 รวมถึงสำหรับครูผู้สอน ทุกสิ่งที่คุณต้องการเพื่อแก้ส่วนที่ 1 ของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหา 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่คือมากกว่า 70 คะแนนในการสอบ Unified State และทั้งนักเรียน 100 คะแนนและนักศึกษามนุษยศาสตร์ก็สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา
ทฤษฎีที่จำเป็นทั้งหมด วิธีแก้ปัญหาด่วน ข้อผิดพลาด และความลับของการสอบ Unified State งานปัจจุบันทั้งหมดของส่วนที่ 1 จาก FIPI Task Bank ได้รับการวิเคราะห์แล้ว หลักสูตรนี้สอดคล้องกับข้อกำหนดของ Unified State Exam 2018 อย่างสมบูรณ์
หลักสูตรประกอบด้วย 5 หัวข้อใหญ่ หัวข้อละ 2.5 ชั่วโมง แต่ละหัวข้อได้รับตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและชัดเจน
งานสอบ Unified State หลายร้อยรายการ ปัญหาคำศัพท์และทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมที่ง่ายและง่ายต่อการจดจำสำหรับการแก้ปัญหา เรขาคณิต. ทฤษฎี เอกสารอ้างอิง การวิเคราะห์งานการสอบ Unified State ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี วิธีแก้ปัญหาที่ยุ่งยาก เอกสารโกงที่มีประโยชน์ การพัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้นจนถึงปัญหา 13 ทำความเข้าใจแทนการยัดเยียด คำอธิบายที่ชัดเจนของแนวคิดที่ซับซ้อน พีชคณิต. ราก กำลังและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ พื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนของส่วนที่ 2 ของการสอบ Unified State
เป็นรูปทรงที่มีหลายแง่มุม โดยมีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม และใบหน้าที่เหลือจะแสดงด้วยรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม
ถ้าฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เรียกว่าปิระมิด รูปสี่เหลี่ยม, ถ้าเป็นรูปสามเหลี่ยม – แล้ว สามเหลี่ยม. ความสูงของปิรามิดนั้นวาดจากด้านบนตั้งฉากกับฐาน นอกจากนี้ยังใช้ในการคำนวณพื้นที่ ระยะกึ่งกลางของตำแหน่ง– ความสูงของใบหน้าด้านข้างลดลงจากด้านบน
สูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดคือผลรวมของพื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิดซึ่งมีค่าเท่ากัน อย่างไรก็ตาม วิธีการคำนวณนี้ใช้น้อยมาก โดยพื้นฐานแล้ว พื้นที่ของปิรามิดจะคำนวณผ่านเส้นรอบวงของฐานและระยะกึ่งกลางของฐาน:
ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่พื้นผิวด้านข้างของปิรามิด
ให้พีระมิดมีฐาน ABCDE และ F บนสุด AB =BC =CD =DE =EA =3 ซม. เส้นกึ่งกลาง a = 5 ซม. จงหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิด
ลองหาเส้นรอบวง. เนื่องจากขอบของฐานทั้งหมดเท่ากัน ดังนั้น เส้นรอบวงของรูปห้าเหลี่ยมจึงเท่ากับ:
ตอนนี้คุณสามารถหาพื้นที่ด้านข้างของปิรามิดได้:
พื้นที่ของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ
ปิรามิดรูปสามเหลี่ยมปกติประกอบด้วยฐานซึ่งมีรูปสามเหลี่ยมปกติและมีหน้าด้าน 3 ด้านที่มีพื้นที่เท่ากัน
สูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติสามารถคำนวณได้หลายวิธี คุณสามารถใช้สูตรการคำนวณตามปกติโดยใช้เส้นรอบวงและระยะกึ่งกลางของด้าน หรือคุณสามารถหาพื้นที่ของหน้าเดียวแล้วคูณด้วยสาม เนื่องจากหน้าของปิรามิดเป็นรูปสามเหลี่ยม เราจึงใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม จะต้องมีระยะกึ่งกลางและความยาวของฐาน ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ
ให้ปิรามิดที่มีระยะกึ่งกลาง a = 4 ซม. และหน้าฐาน b = 2 ซม. จงหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิด
ขั้นแรกให้หาพื้นที่ของใบหน้าด้านใดด้านหนึ่ง ในกรณีนี้จะเป็น:
แทนค่าลงในสูตร:
เนื่องจากในปิรามิดปกติทุกด้านจะเท่ากัน พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ทั้งสามหน้า ตามลำดับ:
พื้นที่ของปิรามิดที่ถูกตัดทอน
ถูกตัดทอนปิรามิดคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ประกอบขึ้นจากปิรามิดและมีหน้าตัดขนานกับฐาน
สูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนนั้นง่ายมาก พื้นที่เท่ากับผลคูณของผลรวมครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวงของฐานและเส้นตั้งฉากในฐาน: